Giovanni Menna wurde in Perugia geboren und studierte Bratsche am dortigen Conservatorio di Musica. Seine Ausbildung setzte er in Berlin bei Prof. Hartmut Rohde und dem Artemis Quartett an der Universität der Künste und bei Prof. Tabea Zimmermann an der Hochschule für Musik Hanns Eisler fort.

Wichtige Impulse erhielt er auf Meisterkursen bei Lorenzo Corti, Hatto Beyerle, Yuri Bashmet und Bruno Giuranna.
In der Spielzeit 2010/2011 war er Akademist des Deutschen Symphonieorchesters Berlin und anschließend bis 2013 Mitglied der Orchesterakademie der Berliner Philharmoniker. Er war regelmäßig Gast bei der Filharmonica della Scala und dem Orchestra Sinfonica della RAI und als Stellvertretender Solo-Bratscher bei dem Orchestra dell'Accademia di Santa Cecilia in Rom tätig. Seit 2014 ist er Mitglied des Symphonieorchesters des bayerischen Rundfunks.

Er ist 1. Preisträger der Rassegna Musicale Vittorio Veneto und erhielt den Förderpreis der Amici della Musica di Perugia. Als Solist und Kammermusiker gab er zahlreiche Konzerte, unter anderem beim Schleswig-Holstein-Musikfestival, in der Berliner Philharmonie, bei der Accademia Chigiana Siena und beim Lingotto Festival Turin. Zudem hat er für das Label Brillant Classic aufgenommen.